详细展示所有步骤，求解 \( x > 0 \) 时 \( y = x^x \) 的一阶导数。
分步求 \(x^{x}\) 的导数
注意：函数 \( y = x^{x} \) 既不是形如 \( x^{k} \) 的幂函数，也不是形如 \( b^{x} \) 的指数函数，因此不能直接使用这两种函数的已知求导公式。我们需要寻找另一种方法来求给定函数的一阶导数。
给定：
\[ y = x^{x} \]对两边取自然对数（\( \ln \)）：
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]利用对数函数的性质 \( \ln A^{b} = b \ln A \) 化简右侧：
\[ \ln y = x \ln x \]对两边关于 \( x \) 求导，左侧使用链式法则，右侧使用乘积法则：
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \] \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]化简右侧：
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]两边同乘以 \( y \) 并代入 \( y = x^x \)：
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]
导数结果：
\[ \dfrac{dy}{dx} = x^{x}(\ln x + 1) \]
练习题与答案
练习题与解答
求下列函数的一阶导数：
- \( f(x) = x^{2x} \)
- \( g(x) = (\sin x)^{x} \)
- \( h(x) = (x^2 + 1)^{x} \)
上述练习题的答案：
- \( f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \)
- \( g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \dfrac{x \cos x}{\sin x}\right) \)
- \( h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \)